Question

15．在某次水下考古活動(dòng)中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè)．其用氧量包含3個(gè)方面：①下潛時(shí)，平均速度為v（米/單位時(shí)間），單位時(shí)間內(nèi)用氧量為v²；②在水底作業(yè)需5個(gè)單位時(shí)間，每個(gè)單位時(shí)間用氧量為0.4；③返回水面時(shí)，平均速度為$\frac{v}{2}$（米/單位時(shí)間），單位時(shí)間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動(dòng)中，總用氧量為y．
（1）將y表示為v的函數(shù)；
（2）試確定下潛速度v，使總的用氧量最少．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件直接求解y表示為v的函數(shù)．
（2）利用基本不等式求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）①下潛時(shí)，平均速度為v（米/單位時(shí)間），單位時(shí)間內(nèi)用氧量為v²；②在水底作業(yè)需5個(gè)單位時(shí)間，每個(gè)單位時(shí)間用氧量為0.4；③返回水面時(shí)，平均速度為$\frac{v}{2}$（米/單位時(shí)間），單位時(shí)間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動(dòng)中，總用氧量為y．
$y=\frac{30}{v}•{v^2}+5×0.4+\frac{30}{{\frac{v}{2}}}•0.2=2+30v+\frac{12}{v}（v＞0）$…（8分）
（2）$y=2+30v+\frac{12}{v}≥2+2\sqrt{30v•\frac{12}{v}}=2+12\sqrt{10}$…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)$30v=\frac{12}{v}$即$v=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$時(shí)取等號                               …（15分）
答：當(dāng)下潛速度為$v=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$時(shí)，總用氧量最少．                       …（16分）

點(diǎn)評 本題考查實(shí)際問題的求解方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．