Question

已知實數，函數。

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）若在區間上是增函數，求實數的取值范圍；

（3）若當時，函數圖象上的點均在不等式，所表示的平面區域內，求實數 的取值范圍。

 

Answer 1

(1)單調遞增；（2）≤a<0或0<a≤1；（3）.

【解析】

試題分析：本題考查導數的應用，（1）判斷討論函數的單調性，可以求出其導數，然后解不等式，其解集區間是函數的單調增區間，不等式的解集區間是函數的單調減區間；（2）在區間上是增函數，說明不等式在區間上恒成立，本題中可求出，因此不等式，由于，則在上恒成立，即的最小值，記，它是二次函數，要求它的最小值，可分和討論；（3）題意是不等式在上恒成立，記，則當時，恒成立，求其導數，當時，在上，，為減函數，不恒成立（如），時，此時要討論與的大小，以便討論函數的單調性，求出其最小值，因為不等式恒成立，就是.

（1）當a=1時，，

所以， 2分

因為，所以恒成立，

所以在上單調遞增； 3分

（2）因為，所以，

因為在[1, 4]上是增函數，所以在[1, 4]上恒成立，

即在[1, 4]上恒成立，① 5分

令，對稱軸為x=1，

因為，所以當時，要使①成立，只需g(1)≥0，解得：a≤1，所以0<a≤1，

當時，要使①成立，只需g(4)≥0，解得：a≥，所以≤a<0，

綜上，≤a<0或0<a≤1； 8分

（3）由題意，有在上恒成立，

令，則在上恒成立，②

所以， 10分

當a<0時，因為x>2，則，所以在上單調遞減，

又因為，所以②不恒成立， 12分

當時，，此時在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

所以只需，解得：，

所以時②恒成立； 14分

當時，，此時在上單調遞增，

所以，

因為，所以，所以②不恒成立，

綜上，實數 的取值范圍是：。 16分

考點：導數與函數的單調性、函數的最值，導數與函數的綜合問題.