Question

如圖，已知，，，分別是橢圓的四個頂點，△是一個邊長為2的等邊三角形，其外接圓為圓．

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）若點是圓劣弧上一動點（點異于端點，），直線分別交線段，橢圓于點，，直線與交于點．

（ⅰ）求的最大值；

（ⅱ）試問：..，兩點的橫坐標之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

 

 

Answer 1

（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標準方程，只需兩個獨立條件. 由題意知，，，所以，，所以橢圓的方程為，求圓的方程，有兩個選擇，一是求圓的標準方程，確定圓心與半徑，二是求圓的一般方程，只需代入圓上三個點的坐標.本題兩個方法皆簡單，如易得圓心，，所以圓的方程為

（2）（ⅰ）本題關鍵分析出比值暗示的解題方向，由于點在軸上，所以，因此解題方向為利用斜率分別表示出點與點的橫坐標. 設直線的方程為，與直線的方程聯立，解得點，聯立，消去并整理得，，解得點,因此當且僅當時，取“=”， 所以的最大值為．（ⅱ）求出點的橫坐標，分析與點的橫坐標的和是否為常數. 直線..的方程為，與直線的方程聯立，解得點，所以、兩點的橫坐標之和為．

試題解析：（1）由題意知，，，

所以，，所以橢圓的方程為， 2分

易得圓心，，所以圓的方程為． 4分

（2）解：設直線的方程為，

與直線的方程聯立，解得點， 6分

聯立，消去并整理得，，解得點，

9分

（ⅰ），當且僅當時，取“=”，

所以的最大值為． 12分

（ⅱ）直線的方程為，

與直線的方程聯立，解得點， 14分

所以、兩點的橫坐標之和為．

故、兩點的橫坐標之和為定值，該定值為． 16分

考點：橢圓與圓標準方程，直線與橢圓位置關系