Question

15．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P是正方體棱上一點（不包括棱的端點），若滿足|PA|+|PC₁|=m的點P的個數為6，則m的取值范圍是$（\sqrt{3}，\sqrt{5}）$．

Answer 1

分析 利用三角形兩邊之和大于第三邊，以及點P的個數為6個時，短半軸長小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出m的范圍．

解答 解：∵|PA|+|PC₁|=m＞|AC₁|=$\sqrt{3}$，
∴m＞$\sqrt{3}$，
∵正方體的棱長為1
∴正方體的面的對角線的長為$\sqrt{2}$，
∵點P的個數為6，
∴b＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵短半軸長b=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-\frac{3}{4}}$，
∴$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-\frac{3}{4}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m$＜\sqrt{5}$，
∴m的取值范圍是$（\sqrt{3}，\sqrt{5}）$．
故答案為$（\sqrt{3}，\sqrt{5}）$．

點評 本題以正方體為載體，主要考查了橢圓定義的靈活應用，屬于綜合性試題．