Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是 菱形，AC=6，$BD=6\sqrt{3}$，E是PB上任意一點．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）當△AEC的面積最小時，求證：CE⊥面PAB
（3）當△AEC的面積最小值為9時，問：線段BC上是否存在點G，使EG與平面PAB所成角的正切值為2？若存在，求出BG的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BD，設AC與BD相交于點F，推導出AC⊥BD，PD⊥AC，從而AC⊥平面PDB，由此能證明AC⊥DE．
（2）連結EF，推導出AC⊥EF，EF⊥PB，PB⊥AC，從而PB⊥平面AEC，進而PB⊥EC，再求出EC⊥AE，由此能證明EC⊥平面PAB．
（3）求出EF=3作GH∥CE交PB于點G，推導出∠GEH就是EG與平面PAB所成角，由此能求出存在滿足題意的點G，且BG=4．

解答 證明：（1）連接BD，設AC與BD相交于點F
因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
而PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB，
又∵DE?平面PBD，∴AC⊥DE．--------------（4分）
（2）連結EF，由（I）知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，
∴AC⊥EF．∵${S_{△ACE}}=\frac{1}{2}AC•EF$，且AC=6
當△ACE面積最小時，EF最小，這時EF⊥PB．-------（6分）
∵AC⊥平面PDB，∴PB⊥AC，
又∵EF∩AC=F，∴PB⊥平面AEC，∴PB⊥EC，----------------（7分）
又由 EF=AF=FC=3，可得 EC⊥AE，---------（8分）
而PB∩AE=E，
故EC⊥平面PAB．---------------------（9分）
解：（3）由已知，${（{{S_{△ACE}}}）_{min}}=\frac{1}{2}×6×EF=9$，解得EF=3
作GH∥CE交PB于點G，由（2）知EC⊥平面PAB，
∴GH⊥平面PAB，
∴∠GEH就是EG與平面PAB所成角，----------------------（12分）
在直角三角形CEB中，$BC=6，\;EC=3\sqrt{2}\;，\;EB=3\sqrt{2}$
∴∠CBE=45°
設BG=x，則$BH=HG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$．
由tan∠GEH=2得 $EH=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x$．
由EH+HB=EB得 x=4
即存在滿足題意的點G，且BG=4．----------（14分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查滿足條件的線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．