Question

4．對于函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-\left|x+1\right|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}\right.$，有如下三個命題：
①f（x）的單調遞減區間為[2n-3，2n-2]（n∈N^*）
②f（x）的值域為[0，+∞）
③若-2＜a≤0，則方程f（x）=x+a在區間[-2，0]內有3個不相等的實根
其中，真命題是①②．（將真命題的序號填寫在橫線上）

Answer 1

分析 函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-\left|x+1\right|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}\right.$的圖象，數形結合分析三個命題的真假，可得答案．

解答 解：函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-\left|x+1\right|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：，由圖可得：①f（x）的單調遞減區間為[2n-3，2n-2]（n∈N^*），故①正確；
②f（x）的值域為[0，+∞），故②正確；
③若-2＜a≤0，則方程f（x）=x+a在區間[-2，0]內至多有有2個不相等的實根，故③錯誤；
故答案為①②

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數的圖象，函數的值域，函數的根與方程的零點，屬于中檔題．