Question

已知函數f（x）=lg

1+ax

1-x

（a＞0）為奇函數，函數g（x）=1+x+

b

1-x

（b∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）當x∈[

1

3

，

1

2

]時，關于x的不等式f（x）≤lgg（x）有解，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,函數的定義域及其求法,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據函數成立的條件即可求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）根據對數的運算法則和對數函數的性質解不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=lg

1+ax

1-x

(a＞0)為奇函數得f（-x）+f（x）=0，
即lg

1-ax

1+x

+lg

1+ax

1-x

=lg

1-a2x2

1-x2

=0，
所以

1-a2x2

1-x2

=1，解得a=1，
經檢驗符合題意，故f(x)=lg

1+x

1-x

，
所以f（x）的定義域是（-1，1）；

（Ⅱ）不等式f（x）≤lgg（x）等價于

1+x

1-x

≤1+x+

b

1-x

，
即b≥x²+x在x∈[

1

3

，

1

2

]有解，
故只需b≥（x²+x）_min，
函數y=x2+x=(x+

1

2

)2-

1

4

在x∈[

1

3

，

1

2

]單調遞增，
所以ymin=(

1

3

)2+

1

3

=

4

9

，
所以b的取值范圍是[

4

9

，+∞)．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質，利用對數函數的單調性是解決本題的關鍵．