Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=3a_n-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）利用“錯位相減法”，等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）n=1時，a₁=1．
∵2S_n=3a_n-1，∴2S_n+1=3a_n+1-1，
∴a_n+1=3a_n，
∴a_n=3^n-1．
（2）∵b_n=n?3^n-1，
∴T_n=1?3⁰+2?3¹+3?3²+…+（n-1）?3^n-2+n?3^n-1，
3 T_n=1?3¹+2?3²+3?3³+…+（n-1）?3^n-1+n?3ⁿ，
兩式相減可得-2T_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n?3ⁿ，
∴T_n=

2n-1

4

?3ⁿ+

1

4

．

點評：本題考查了遞推式的應用、等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．