Question

等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=10，a₂為整數，且在前n項和中S₄最大．（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

13-an

3n+1

，n∈N⁺．
①求證：b_n+1＜b_n≤

1

3

；  
②求數列{b_2n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列的通項公式及其性質即可得出；
（2）①利用數列的單調性即可證明；
②利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）由a₁=10，a₂為整數，等差數列{a_n}的公差d為整數．
又S_n≤S₄，故a₄≥0，a₅≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，
解得-

10

3

≤d≤-

5

2

，
因此d=-3．
數列{a_n}的通項公式為a_n=10-3（n-1）=13-3n．
（2）①證明：由（1）可知：b_n=

3n

3n+1

=

n

3n

，
∴b_n+1-b_n=

1-2n

3n+1

＜0，
∴數列{b_n}是單調遞減數列，{b_n}的最大項為b₁=

1

3

．
∴b_n+1＜b_n≤

1

3

．
②解：Tn=

2

9

+

4

92

+

6

93

+…+

2n

9n

，

1

9

Tn=

2

92

+

4

93

+

6

94

+…+

2n

9n+1

，
兩式相減可得

8

9

Tn=

2

91

+

2

92

+

2

93

+…+

2

9n

-

2n

9n+1

=

2 9 [1-( 1 9 )n]

1- 1 9

-

2n

9n+1

=

1

4

[1-(

1

9

)n]-

2n

9n+1

，
∴T_n=

9

32

-

9+8n

32×9n

．

點評：本題考查了數列的單調性、“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式性質及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．