Question

已知關于x的不等式|x+1|+|x-2|≤（a+

1

b

）（

1

a

+b）對任意正實數(shù)a、b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用,不等式

分析：將不等式的右邊化簡，運用基本不等式可得最小值為4，則需解不等式|x+1|+|x-2|≤4，討論當x≤-1時，當-1＜x＜2時，當x≥2時，去絕對值，解不等式，最后求并集即可．

解答： 解：由于a，b＞0，（a+

1

b

）（

1

a

+b）=2+ab+

1

ab

≥2+2

ab• 1 ab

=4，當且僅當ab=1時取“=”號，
∴（a+

1

b

）（

1

a

+b）的最小值為4，
∴|x+1|+|x-2|≤4，
當x≤-1時，-x-1+2-x≤4，解得，x≥-

3

2

，則有-

3

2

≤x≤-1；
當-1＜x＜2時，x+1+2-x≤4，即3≤4成立，則有-1＜x＜2；
當x≥2時，x+1+x-2≤4，解得，x≤

5

2

，則有2≤x≤

5

2

．
綜上x的取值范圍是[-

3

2

，

5

2

]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查基本不等式的運用：求最值，考查不等式恒成立問題轉化為求最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．