【題目】已知直線l與橢圓 
交于兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），橢圓上的點到下焦點距離的最大值、最小值分別為 
，向量 
=（ax1 ， by1）， 
=（ax2 ， by2），且 ⊥ ，O為坐標原點． （Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）判斷△AOB的面積是否為定值，如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
【答案】解：（Ⅰ）由題意可知 
，∴ 
，∴b2=a2﹣c2=1 ∴橢圓的方程為 
；
（Ⅱ）△AOB的面積為定值1．
∵ 
，∴a2x1x2+b2y1y2=0，∴4x1x2+y1y2=0
① 若直線l斜率不存在，設直線l的方程為x=p，則x1=x2=p，y1=﹣y2 ，
∵4x1x2+y1y2=0，∴ 
∵ 
，∴ 
∴S△AOB= 
=1；
②若直線l斜率存在，設直線l的方程為y=kx+r，代入橢圓方程，可得（4+k2）x2+2krx+r2﹣4=0
∴x1+x2=﹣ 
，x1x2= 
∵4x1x2+y1y2=0
∴（4+k2）x1x2+kr（x1+x2）+r2=0
∴r2﹣4﹣ 
+r2=0
∴2r2=4+k2 ， ∴r2≥2
∴△=16（k2﹣r2+4）＞0
設原點O到直線l的距離為d，則S△AOB= 
d|AB|= 
× 
= 
綜上可知，△AOB的面積為定值1．
【解析】（Ⅰ）利用橢圓上的點到下焦點距離的最大值、最小值分別為 
，確定橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）先利用向量知識，可得4x1x2+y1y2=0，再分類討論，求出面積，即可求得結論．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：
，焦點在y軸：
才能正確解答此題．
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【題目】建造一個容積為240m3 ， 深為5m的長方體無蓋蓄水池，池壁的造價為180元/m2 ， 池底的造價為350元/m2 ， 如何設計水池的長與寬，才能使水池的總造價為42000元？
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【題目】如圖，直角三角形ABC的頂點坐標A（﹣2，0），直角頂點 
，頂點C在x軸上，點P為線段OA的中點． （Ⅰ）求BC邊所在直線方程；
（Ⅱ）圓M是△ABC的外接圓，求圓M的方程．
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【題目】已知二次函數f（x）=x2﹣2ax+1，a∈R；
（1）若函數f（x）在區間（﹣1，2）上是單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＞0對任x∈R上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若函數f（x）在區間[1，+∞）的最小值為﹣2，求實數a的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，其準線與x軸的交點為Q，過Q點的直線l交拋物線于A，B兩點．
（1）若直線l的斜率為 
，求證： 
；
（2）設直線FA，FB的斜率分別為k1 ， k2 ， 求k1+k2的值．
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【題目】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e1 ， 以C，D為焦點且過點A的橢圓的離心率為e2 ， 若對任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，則t的最大值為（ ）
A.
B.
C.2
D.
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【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 首項為a1且1，an ， Sn成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）數列{bn}滿足bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求數列 
的前n項和Tn ．
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