Question

【題目】已知二次函數f（x）=x2﹣2ax+1，a∈R；
（1）若函數f（x）在區間（﹣1，2）上是單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＞0對任x∈R上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若函數f（x）在區間[1，+∞）的最小值為﹣2，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2﹣2ax+1的對稱軸為x=a，

∵f（x）在區間（﹣1，2）上是單調函數，

∴a≤﹣1或a≥2，

故a的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）

（2）解：∵不等式f（x）＞0對任x∈R上恒成立，

∴△=4a2﹣4＜0，

解得﹣1＜a＜1，

故a的取值范圍為（﹣1，1）

（3）解：二次函數f（x）=x2﹣2ax+1的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，

當a≤1時，函數在區間[1，+∞）上單調遞增，當x=1時函數取最小值2﹣2a=﹣2，解得a=2，舍去，

當a＞1時，函數在區間[1，a]上單調遞減，在[a，+∞]上單調遞增，

當x=a時函數取最小值﹣a2+1=﹣2，解得：a= ，或a=﹣ （舍去），

綜上所述，a= ．

【解析】1、本題考查的是二次函數的單調性，f（x）在區間（﹣1，2）上是單調函數，（﹣1，2）是單I調區間的一部分，所以a≤﹣1或a≥2。
2、本題考查的是二次函數的圖像和性質f（x）＞0對任x∈R上恒成立，△=4a2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜1。
3、本題考查的是二次函數的最值情況，二次函數f（x）=x2﹣2ax+1，當a≤1時，函數在區間[1，+∞）上單調遞增，當x=1時函數取最小值2﹣2a=﹣2，解得a=2，舍去，當a＞1時，函數在區間[1，a]上單調遞減，在[a，+∞]上單調遞增，當x=a時函數取最小值﹣a2+1=﹣2，解得：a= 3 ，或a=﹣ 3 （舍去），所以a= .
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．