Question

已知命題p：方程x²+2x+a=0有兩個相異的實根；q：函數f（x）=2^x-ax-2有兩個零點，且p∨q為真，p∧q為假，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題p：方程x²+2x+a=0有兩個相異的實根，可得△＞0，解得a；q：函數f（x）=2^x-ax-2有兩個零點，可得函數y=2^x與y=ax+2有兩個不同的交點，解得a＞0．由于p∨q為真，p∧q為假，可得命題p與q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：命題p：方程x²+2x+a=0有兩個相異的實根，∴△=4-4a＞0，解得a＜1；
q：函數f（x）=2^x-ax-2有兩個零點，∴函數y=2^x與y=ax+2有兩個不同的交點，∴a＞0．
∵p∨q為真，p∧q為假，∴命題p與q必然一真一假．
∴當p真q假時，

a＜1 a≥0

，解得0≤a＜1．
當q真p假時，

a≥1 a＞0

，解得1≤a．
綜上可得：a的取值范圍是[0，1）∪[1，+∞）．

點評：本題考查了簡易邏輯的判定、一元二次方程有實數根與判別式的關系、函數的零點轉化為函數圖象的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．