Question

已知數列{a_n}為公差不為0的等差數列，S_n為前n項和，a₅和a₇的等差中項為11，且a₂•a₅=a₁•a₁₄．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

an•an+1

，求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得

a6=a1+5d=11 (a1+d)(a1+4d)=a1(a1+13d) d≠0

，由此能求出a_n及S_n．
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項求和法能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數列{a_n}為公差不為0的等差數列，
S_n為前n項和，a₅和a₇的等差中項為11，且a₂•a₅=a₁•a₁₄．
∴

a6=a1+5d=11 (a1+d)(a1+4d)=a1(a1+13d) d≠0

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²．
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點評：本題考查數列的通項公式及前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．