Question

6．已知直角三角形ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB上一點(diǎn)且D到兩直角邊AC，BC的距離分別為1和2，則三角形ABC的面積最小值為4．

Answer 1

分析 如圖所示，由題意可設(shè)：直線(xiàn)AB的方程為：y-1=k（x-2），k＜0．B（0，1-2k），A（2-$\frac{1}{k}$，0）．可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}（1-2k）（2-\frac{1}{k}）$，展開(kāi)利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，
由題意可設(shè)：直線(xiàn)AB的方程為：y-1=k（x-2），k＜0．
令x=0，解得y=1-2k，B（0，1-2k）；
令y=0，解得x=2-$\frac{1}{k}$，A（2-$\frac{1}{k}$，0）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}（1-2k）（2-\frac{1}{k}）$=$\frac{1}{2}[4+（-4k+\frac{1}{-k}）]$$≥\frac{1}{2}$$（4+2\sqrt{-4k•\frac{1}{-k}}）$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)的截距、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．