Question

16．函數f（x）=sin³x+cos2x-cos²x-sinx的最大值等于（　　）

• A． $\frac{4}{27}$
• B． $\frac{5}{27}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{16}{27}$

Answer 1

分析 通過三角函數的平方關系式化簡函數的表達式，利用換元法通過函數的導數求解函數在閉區間上的最大值即可．

解答 解：y=sin³x+cos2x-cos²x-sinx=sin³x+1-2sin²x-cos²x-sinx=sin³x-sin²x-sinx，令sinx=t∈[-1，1]，
∴y=t³-t²-t，
∴y′=3t²-2t-1，
令3t²-2t-1=0，
可得t=1或t=-$\frac{1}{3}$，
當t∈[-1，-$\frac{1}{3}$]時，函數y是增函數，t∈[-$\frac{1}{3}$，1]時函數是減函數，
∴函數y的最大值為：（-$\frac{1}{3}$）³-（$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{27}$．
故選：B．

點評 本題考查函數在閉區間上的最大值的求法，三角函數的化簡與求值，考查轉化思想以及計算能力．