Question

5．已知函數(shù)f（x_t）=x_t²+bx_t．
（1）若b=2，且x_t=log₂t，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，求f（x_t）的最大值；
（2）當(dāng)y=f（x_t）與y=f（f（x_t））有相同的值域時(shí)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，化簡(jiǎn)f（x_t）的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值求解最大值；
（2）求出y=f（x_t）與y=f（f（x_t））的最小值，利用值域相同，列出不等式即可求b的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$f（{x_t}）={x_t}^2+b{x_t}$．b=2，且x_t=log₂t，$t∈[\frac{1}{2}，2]$，
∴x_t∈[-1，1]，
∴$f（{x_t}）={x_t}^2+2{x_t}$，對(duì)稱軸為x_t=-1，
可得x_t∈[-1，1]的最大值為f（1）=3．（5分）
（2）$f（{x_t}）={x_t}^2+b{x_t}$，x_t∈R
當(dāng)${x_t}=-\frac{b}{2}$時(shí)，${f_{min}}（{x_t}）=-\frac{b^2}{4}$，∴y=f（x_t）的值域?yàn)?[-\frac{b^2}{4}，+∞）$，
∵$y=f（{f（{x_t}）}）={f^2}（{x_t}）+bf（{x_t}）$
令u=f（x_t），則$u∈[-\frac{b^2}{4}，+∞）$
函數(shù)y=f（f（x_t））即為：y=u²+bu，$u∈[-\frac{b^2}{4}，+∞）$
若y=f（x_t）與y=f（f（x_t））有相同的值域，則等價(jià)于它們有相同的最小值
即滿足：$-\frac{b^2}{4}≤-\frac{b}{2}$
所以：b∈（-∞，0]∪[2，+∞）（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．