Question

15．已知函數f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得關于x的不等式f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求證：（$\frac{1}{n}$+1）ⁿ＜e，n∈N^*（其中e為自然對數的底數）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數g（x）的導數，確定函數的單調區間，得到f（x）的最大值；
（Ⅱ）求出f（x）的導數，通過討論a的符號，判斷函數f（x）的單調區間，從而求出a的范圍即可；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立，所以$\frac{ln（x+1）}{x}＜1$在（0，+∞）上恒成立，即可證明結論．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定義域為（-1，+∞）．
當a=1時，f（x）=ln（x+1）-x，$f'（x）=-\frac{x}{x+1}$．
當-1＜x＜0時，f'（x）＞0；當x＞0時，f'（x）＜0．
所以，函數f（x）在（-1，0）上是增函數，在（0，+∞）上是減函數．
所以，當x=0時，f（x）取得最大值f（0）=0．…（4分）
（Ⅱ）解：$f'（x）=\frac{1}{x+1}-a$．
（1）若a≥1，則$f'（x）=\frac{1}{x+1}-a＜0$，f（x）在（0，+∞）上單調遞減，
∴f（x）＜f（0）=0在（0，+∞）上恒成立；
（2）若a≤0，則$f'（x）=\frac{1}{x+1}-a＞0$，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
f（x）＞f（0）=0，不符合題意．
（3）證明：若0＜a＜1，則$f'（x）=\frac{{-a[x-（\frac{1}{a}-1）]}}{x+1}$，且$\frac{1}{a}-1＞0$．
當$x∈（0，\frac{1}{a}-1）$時，f'（x）＞0，f（x）在$（0，\frac{1}{a}-1）$上單調遞增，
此時f（x）＞f（0）=0，不符合題意．
綜上，所求a的取值范圍[1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立，
所以$\frac{ln（x+1）}{x}＜1$在（0，+∞）上恒成立．
于是$ln{（x+1）^{\frac{1}{x}}}＜1$，所以${（x+1）^{\frac{1}{x}}}＜e$．
取$x=\frac{1}{n}$，得${（\frac{1}{n}+1）^n}＜e$．…（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查不等式的證明，是一道綜合題．