Question

3．二項式（x³+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展開式中，第二、三、四項二項式系數成等差數列，則展開式中的常數項是（　　）

• A． 21
• B． 35
• C． 56
• D． 28

Answer 1

分析 二項式（x³+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展開式中，第二、三、四項二項式系數成等差數列，可得2${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{3}$，化為：n²-9n+14=0，解得n，再利用通項公式即可得出．

解答 解：∵二項式（x³+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展開式中，第二、三、四項二項式系數成等差數列，
∴2${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{3}$，化為：n²-9n+14=0，解得n=7，或2（舍去）．
∴$（{x}^{3}+\frac{1}{{x}^{4}}）^{7}$的通項公式為：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$$（{x}^{3}）^{7-r}（\frac{1}{{x}^{4}}）^{r}$=${∁}_{7}^{r}$x^21-7r，令21-7r=0，解得r=3．
∴展開式中的常數項是${∁}_{7}^{3}$=35．
故選：B．

點評 本題考查了二項式定理的應用、方程的思想方法、等差數列的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．