Question

14．已知l-2i是關(guān)于x的方程x²+a=bx的一個(gè)根．
（1）求a，b的值；
（2）同時(shí)擲兩個(gè)骰子，記它們向上的點(diǎn)數(shù)分別為m、n，求復(fù)數(shù)（m-a）+（n-b）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得x=$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}$=1-2i，利用復(fù)數(shù)定義列出方程組，能求出a，b的值，由此能求出結(jié)果．
（2）同時(shí)擲兩個(gè)骰子，記它們向上的點(diǎn)數(shù)分別為m、n，基本事件（m，n）的總數(shù)N=6×6=36，由復(fù)數(shù)（m-a）+（n-b）i即復(fù)數(shù)（m-5）+（n-2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，得到$\left\{\begin{array}{l}{m＜5}\\{n＞2}\end{array}\right.$，由此利用列舉法能求出復(fù)數(shù)（m-a）+（n-b）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限的概率．

解答 解：（1）∵l-2i是關(guān)于x的方程x²+a=bx的一個(gè)根，
∴x=$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}$=1-2i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}=1}\\{-\frac{\sqrt{4a-{b}^{2}}}{2}i=-2i}\end{array}\right.$，
解得a=5，b=2．
（2）同時(shí)擲兩個(gè)骰子，記它們向上的點(diǎn)數(shù)分別為m、n，
基本事件（m，n）的總數(shù)N=6×6=36，
∵復(fù)數(shù)（m-a）+（n-b）i即復(fù)數(shù)（m-5）+（n-2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-5＜0}\\{n-2＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＜5}\\{n＞2}\end{array}\right.$，
∴復(fù)數(shù)（m-a）+（n-b）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限包含的基本事件（m，n）有：
（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），共16個(gè)，
∴復(fù)數(shù)（m-a）+（n-b）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限的概率p=$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意古典概率計(jì)算公式和列舉法的合理運(yùn)用．