Question

已知=（1，2sinx），=（2cos（x+），1），函數f（x）=•（x∈R）
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若f（x）=，求cos（2x-）的值．

Answer 1

解：（1）f（x）=•=2cos（x+）+2sinx
=2cosxcos-2sinxsin+2sinx
=cosx-sinx+2sinx
=cosx+sinx=2（cosx+sinx）
=2sin（x+）
由+2kπ≤x+≤+2kπ得：+2kπ≤x≤+2kπ，
所以f（x）的單調遞增區間是[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=2sin（x+），
又因為2sin（x+）=，所以sin（x+）=，
即sin（x+）=cos（-x）=cos（x-）=，
所以cos（2x-）=2cos²（x-）-1=．
分析：（1）根據平面向量的數量積的運算法則，計算出•，然后利用兩角和的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，合并后，提取2，再利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，確定出f（x）的解析式，由正弦函數的遞減區間[，]列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍，即為函數f（x）的單調遞減區間；
（2）由（1）中求出的f（x）的解析式，令f（x）=，即可求出sin（x+）的值，利用誘導公式求出cos（x-）的值，然后利用二倍角的余弦函數公式把所求的式子化簡，把求出的cos（x-）的值代入即可求出值．
點評：此題考查了平面向量的數量積的運算法則，正弦函數的單調性，以及三角函數的恒等變形．要求學生掌握兩角和與差的正弦、余弦函數公式，誘導公式及二倍角的余弦函數公式，熟練掌握這些公式是解本題的關鍵．