Question

已知向量

p

=(2cosωx+2sinωx，f(x))，

q

=(1，cosωx)，ω＞0且

p

∥

q

，函數f（x）圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離是2π．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）設函數g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），若g（x）為偶函數，求g（x）的最大值及相應的x值．

Answer 1

分析：（I）利用向量共線條件，確定函數解析式，即可求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）先確定函數g（x）的解析式，即可求g（x）的最大值及相應的x值．

解答：解：（Ⅰ）∵

p

∥

q

，∴（2cosωx+2sinωx）cosωx-f（x）=0
得f（x）=（2cosωx+2sinωx）cosωx=2cos²ωx+2sinωxcosωx=1+cos2ωx+sin2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)+1…（3分）
由題設可知，函數f（x）的周期T=4π，則ω=

1

4

…（4分）
則f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)+1
由2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，解得4kπ+

π

2

≤x≤4kπ+

5π

2

，其中k∈Z
∴函數f（x）的單調減區間是[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]（k∈Z）．…（7分）
（Ⅱ）g(x)=f(x+?)=

2

sin(

x+?

2

+

π

4

)+1，
∵g（x）為偶函數，∴圖象關于y軸為對稱軸
將x=0代入，得sin(

?

2

+

π

4

)=±1，則有

?

2

+

π

4

=kπ+

π

2

⇒?=2kπ+

π

2

又∵?∈（0，π），∴?=

π

2

…（9分）
則g(x)=

2

sin(

x

2

+

π

2

)+1=

2

cos

x

2

+1…（10分）
當cos

x

2

=1，時，函數g（x）取得最大值

2

+1
此時

x

2

=2kπ⇒x=4kπ，其中k∈Z．…（12分）

點評：本題考查向量知識，考查函數解析式的確定，考查三角函數的性質，屬于中檔題．