Question

已知f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設(shè) 0≤θ≤π，且函數(shù)f（x） 為偶函數(shù)，求滿足f（x）=1，x∈[0，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和兩角差的余弦公式，將函數(shù)化為y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)，再利用周期計(jì)算公式求其周期即可；
（II）先利用函數(shù)的對稱性，求得θ的值，再解三角方程即可得x的集合，注意未知數(shù)的取值范圍

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x+θ)+

3

[2cos2(x+

θ

2

)-1]=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）=2cos(2x+θ-

π

6

)
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π；                       
（Ⅱ）函數(shù)f（x） 為偶函數(shù)，則θ-

π

6

=kπ，k∈z
∵0≤θ≤π
∴當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，f（x）為偶函數(shù)．                       
由f（x）=1，得2cos2x=1，所以cos2x=

1

2

，
∵x∈[0，π]，∴2x=

π

3

或2x=

5π

3

∴所求x的集合為{x|x=

π

6

或x=

5π

6

}．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角變換公式在三角化簡和求值中的應(yīng)用，y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，簡單的三角方程的解法，屬基礎(chǔ)題