Question

已知f（x）=2sin（π-x）sin(

π

2

-x)．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若A，B，C是銳角△ABC的內角，其對邊分別是a，b，c，且f(

B

2

)=

3

2

，b²=ac試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：f（x）=sin2x，進而根據周期公式可得答案．
（2）由（1）可得B=

π

3

，再結合余弦定理與題中條件b²=ac可得a=c，進而得到三角形是等邊三角形．

解答：解：（1）由題意可得：f（x）=2sinxcosx=sin2x，
所以函數f（x）的最小值周期為T=

2π

2

=π．
（2）由（1）可得：f(

B

2

)=sinB=

3

2

，
又因為B是銳角△ABC的內角，
所以B=

π

3

．
在△ABC中由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosC，
又因為b²=ac，
所以（a-c）²=0，即a=c，
所以△ABC是等邊三角形．

點評：本題值域考查誘導公式與三角函數的有關性質，以及利用余弦定理判斷三角形的形狀等問題，此題是一道綜合性較強的題型，屬于中檔題型．