Question

13．已知△ABC外接圓的半徑為2，圓心為O，且$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}，|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{AO}}|$，則$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=（　　）

• A． 12
• B． 13
• C． 14
• D． 15

Answer 1

分析 由條件便可得出AB⊥AC，O為斜邊的中點，再根據$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AO}|$，即可得出$∠B=\frac{π}{3}，∠C=\frac{π}{6}$，進而得出$|\overrightarrow{CB}|，|\overrightarrow{CA}|$的值，從而求出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的值．

解答 解：根據條件，AB⊥AC，O為BC中點，如圖所示：
$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AO}|$；
∴△ABO為等邊三角形，$∠B=\frac{π}{3}$，$∠C=\frac{π}{6}$，$|\overrightarrow{CB}|=4$，$|\overrightarrow{CA}|=2\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=2\sqrt{3}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=12$．
故選A．

點評 考查三角形外接圓的概念，向量加法的平行四邊形法則，直徑所對的圓周角為直角，以及三角函數的定義，向量數量積的計算公式．