Question

1．已知函數f（x）=$\frac{{4}^{x}-a}{{2}^{x}}$是奇函數．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）用定義證明函數f（x）在R上的單調性；
（Ⅲ）若對任意的x∈R，不等式f（x²-x）+f（2x²-k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數f（x）的定義域為R，且f（x）是奇函數，故f（0）=0，解得a值；
（Ⅱ） 任取x₁＜x₂，作差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，根據函數單調性的定義，可得函數f（x）在R上的單調性；
（Ⅲ）若對任意的x∈R，不等式f（x²-x）+f（2x²-k）＞0恒成立，

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）的定義域為R，且f（x）是奇函數，
∴f（0）=0，解得a=1
此時f（x）=2^x-2^-x，滿足f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數．
∴a=1．    …（4分）
（Ⅱ） 任取x₁＜x₂，則${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{-x}_{1}}＞{2}^{-{x}_{2}}$，
于是f（x₁）-f（x₂）=（${2}^{{x}_{1}}-{2}^{-{x}_{1}}$）-（${2}^{{x}_{2}}-{2}^{-{x}_{2}}$）=${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$-（${2}^{{-x}_{1}}-{2}^{-{x}_{2}}$）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），故函數f（x）在R上是增函數．…（8分）
（Ⅲ）不等式f（x²-x）+f（2x²-k）＞0可化為：f（x²-x）＞-f（2x²-k）=f（-2x²+k）
又由f（x）在R上是增函數，
得x²-x＞-2x²+k，
即k＜3x²-x對任意的x∈R恒成立
∵當x=$\frac{1}{6}$時，3x²-取最小值$-\frac{1}{12}$，
∴k＜$-\frac{1}{12}$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，函數的奇偶性，函數的單調性，難度中檔．