Question

12．設函數f（x）=lnx-ax²+ax，a為正實數．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證：f（$\frac{1}{a}$）≤0；
（3）若函數f（x）有且只有1個零點，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求導數，確定切線的斜率，切點坐標，可得切線方程；
（2）構造函數，確定函數的單調性與最值，即可證明結論；
（3）由題意可知，函數f（x）有且只有1個零點為（1，0），則f′（1）=0，即可得出結論．

解答 （1）解：當a=2時，f（x）=lnx-2x²+2x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x+2，
∴f′（1）=-1，
∵f（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=-x+1；
（2）證明：f（$\frac{1}{a}$）=-lna-$\frac{1}{a}$+1（a＞0），
令g（x）=-lnx-$\frac{1}{x}$+1（x＞0），則g′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴0＜x＜1時，g′（x）＞0，函數單調遞增；x＞1時，g′（x）＜0，函數單調遞減，
∴x=1時，函數取得極大值，即最大值，
∴g（x）≤g（1）=0，
∴f（$\frac{1}{a}$）≤0；
（3）解：由題意可知，函數f（x）有且只有1個零點為1，
則f′（1）=0，即1-2a+a=0
∴a=1．

點評 本題考查了導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性極值與最值等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．