Question

如圖，四面體ABCD中，M、N分別是線段BC、AD的中點，已知

AG

=

2

3

AM

，則
（1）

NM

=

1

2

（

NB

+

NC

）；
（2）

NM

=

DB

+

1

2

AC

；
（3）

NG

=

1

3

（

NA

+

NB

+

NC

）；
（4）存在實數x，y，使得

NG

=x

DB

+y

DC

．
其中正確的結論是

 

．（把你認為是正確的所有結論的序號都填上）．

Answer 1

考點：空間向量的加減法

專題：空間向量及應用

分析：（1）由于M是線段BC的中點，可得

NM

=

1

2

(

NB

+

NC

)；
（2）取CD的中點E，連接EN，EM．而

NM

=

NE

+

EM

=

1

2

AC

+

1

2

DB

，即可判斷出；
（3）利用

NG

=

NM

+

MG

，

MG

=

1

3

MA

=

1

3

(

NA

-

NM

)，及其（1）即可得出；
（4）由于M、N分別是線段BC、AD的中點，

AG

=

2

3

AM

，可得NG與平面DBC不平行，得出不存在實數x，y，使得

NG

=x

DB

+y

DC

．

解答： 解：（1）∵M是線段BC的中點，∴

NM

=

1

2

(

NB

+

NC

)，正確；
（2）取CD的中點E，連接EN，EM．
則

NM

=

NE

+

EM

=

1

2

AC

+

1

2

DB

，因此不正確；
（3）

NG

=

NM

+

MG

=

NM

+

1

3

MA

=

NM

+

1

3

(

NA

-

NM

)=

2

3

×

1

2

(

NB

+

NC

)+

1

3

NA

=

1

3

(

NB

+

NC

+

NA

)，因此正確；
（4）∵M、N分別是線段BC、AD的中點，

AG

=

2

3

AM

，
∴NG與平面DBC不平行，
∴不存在實數x，y，使得

NG

=x

DB

+y

DC

．
綜上可得：只有（1）（3）正確．
故答案為：（1）（3）．

點評：本題考查了向量的三角形法則、平行四邊形法則、中點的性質、向量共線定理、向量的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．