Question

2．下列4個命題：
①“若a、G、b成等比數列，則G²=ab”的逆命題；
②“如果x²+x-6≥0，則x＞2”的否命題；
③在△ABC中，“若A＞B”則“sinA＞sinB”的逆否命題；
④當0≤α≤π時，若8x²-（8sinα）x+cos2α≥0對?x∈R恒成立，則α的取值范圍是0≤α≤$\frac{π}{6}$．
其中真命題的序號是②③．

Answer 1

分析 由a=G=b=0，則a、G、b不成等比數列，即可判斷①；
寫出命題的否命題，由二次不等式的解法，即可判斷②；
運用三角形的邊角關系和正弦定理，即可判斷③；
由二次不等式恒成立可得判別式不大于0，解不等式，結合二倍角公式和余弦函數的圖象，即可判斷④．

解答 解：①“若a、G、b成等比數列，則G²=ab”的逆命題為“若G²=ab，則a、G、b成等比數列”，
不正確，比如a=G=b=0，則a、G、b不成等比數列，故①錯；
②“如果x²+x-6≥0，則x＞2”的否命題為“②“如果x²+x-6＜0，則x≤2”的否命題”，
由x²+x-6＜0，可得-3＜x＜2，推得x≤2，故②對；
③在△ABC中，“若A＞B”?“a＞b”?“2RsinA＞2RsinB”?“sinA＞sinB”（R為外接圓的半徑）
則其逆否命題正確，故③對；
④當0≤α≤π時，若8x²-（8sinα）x+cos2α≥0對?x∈R恒成立，即有△=64sin²α-32cos2α≤0，
即有1-2cos2α≤0，即為cos2α≥$\frac{1}{2}$，可得0≤2α≤$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$≤2α≤2π，
解得0≤α≤$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$≤α≤π，故④錯．
故答案為：②③．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要考查等比數列中項的定義和性質，四種命題的判斷和二次不等式恒成立問題的解法，考查判斷和推理能力，屬于中檔題和易錯題．