Question

17．在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M、N分別是SA，BD上的點．
①若$\frac{SM}{MA}$=$\frac{DN}{NB}$，則MN∥面SCD；
②若$\frac{SM}{MA}$=$\frac{NB}{DN}$，則MN∥面SCB；
③若面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，則SD⊥面ABCD．其中正確的命題個數是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 在①和②中，過M作MH∥SD，交AD于H，連結HN，由條件能推導出平面MNH∥平面SDC，從而得到MN∥面SCD；在③中，由面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，平面SDA∩平面SDB=SD，得到SD⊥面ABCD．

解答 解：在①中，過M作MH∥SD，交AD于H，連結HN，
∵在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，
M、N分別是SA，BD上的點，$\frac{SM}{MA}$=$\frac{DN}{NB}$，
∴NH∥CD，
∵MH∩MN=M，SD∩DC=D，MH，MN?平面MNH，
SD，CD?平面SDC，
∴平面MNH∥平面SDC，
∵MN?平面MNH，∴MN∥面SCD，故①正確；
在②中，過M作MH∥SD，交AD于H，連結HN，
∵在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，
M、N分別是SA，BD上的點，$\frac{SM}{MA}$=$\frac{NB}{DN}$，
∴∴NH∥CD，
∵MH∩MN=M，SD∩DC=D，MH，MN?平面MNH，SD，CD?平面SDC，
∴平面MNH∥平面SDC，
∵MN?平面MNH，∴MN∥面SCD，故②正確；
在③中，∵面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，
平面SDA∩平面SDB=SD，∴SD⊥面ABCD，故③正確．
故選：D．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．