Question

1．設F₁和F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，若F₁、F₂、P（0，2b）是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由題意可知：焦點在x軸上，由F₁、F₂、P（0，2b）是正三角形的三個頂點，則$\sqrt{{c}^{2}+4^{2}}$=2c，整理得：c²=4a²，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦點在x軸上，
焦點F₁（-c，0），F₂（c，0），
由F₁、F₂、P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
∴$\sqrt{{c}^{2}+4^{2}}$=2c，
∴c²+4b²=4c²，
∴c²+4（c²-a²）²=4c²，
整理得：c²=4a²，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
雙曲線的離心率e=2，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的標準方程及簡單幾何性質，考查雙曲線的離心率公式，屬于中檔題．