Question

17．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，長軸 A B上的100等分點從左到右依次為點 M₁，M₂，…，M₉₉，過 M_i（i=1，2，…，99）點作斜率為k（k≠0）的直線l_i（i=1，2，…，99），依次交橢圓上半部分于點 P₁，P₃，P₅，…，P₁₉₇，交橢圓下半部分于點 P₂，P₄，P₆，…，P₁₉₈，則198條直線 A P₁，A P₂，…，A P₁₉₈的斜率乘積為$-\frac{1}{{{2^{99}}}}$．

Answer 1

分析 先證一個結論：對于橢圓上非長軸端點任一點P，有${k_{AP}}{k_{BP}}=\frac{y_P}{{{x_p}-a}}•\frac{y_P}{{{x_p}+a}}=\frac{y_p^2}{{x_P^2-{a^2}}}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{2}$，再根據橢圓對稱性得${k_{A{P_1}}}{k_{A{P_{198}}}}={k_{A{P_1}}}{k_{B{P_1}}}=-\frac{1}{2}$，因此198條直線 A P₁，A P₂，…，A P₁₉₈的斜率乘積為${（-\frac{1}{2}）^{99}}=-\frac{1}{{{2^{99}}}}$

解答 解：∵離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，對于橢圓上非長軸端點任一點P，有${k_{AP}}{k_{BP}}=\frac{y_P}{{{x_p}-a}}•\frac{y_P}{{{x_p}+a}}=\frac{y_p^2}{{x_P^2-{a^2}}}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{2}$，再根據橢圓對稱性得${k_{A{P_1}}}{k_{A{P_{198}}}}={k_{A{P_1}}}{k_{B{P_1}}}=-\frac{1}{2}$，因此198條直線 A P₁，A P₂，…，A P₁₉₈的斜率乘積為${（-\frac{1}{2}）^{99}}=-\frac{1}{{{2^{99}}}}$
故答案為：-$\frac{1}{{2}^{99}}$．

點評 定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的．定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現．