Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（1，sin2x），函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=3，c=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據向量數量積的坐標公式結合三角函數的輔助角公式將函數進行化簡，結合函數周期和單調性的性質進行求解即可．
（Ⅱ）根據條件f（C）=3，求出C的大小，結合余弦定理以及三角形的面積公式進行化簡求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$）•（1，sin2x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+1+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴函數f（x）的最小周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
則f（x）的單調遞減區間[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（C）=3，
∴f（C）=2sin（2C+$\frac{π}{6}$）+1=3，
∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，
∴C是三角形內角，
∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{π}{6}$，
∴cosC=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即：a²+b²-$\sqrt{3}ab=1$（1）．
由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absin\frac{π}{6}=\frac{1}{4}ab=\frac{{\sqrt{3}}}{2}⇒ab=2\sqrt{3}$，代入（1）得a²+b²=7，
聯立方程組消去b可得：a²+$\frac{12}{{a}^{2}}$=7，解之得a²=3或4，
則a=$\sqrt{3}$或2，
∵a＞b，∴a=2，b=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查向量數量積與三角函數的綜合問題，利用輔助角公式以及余弦定理將函數進行化簡是解決本題的關鍵．