Question

12．已知a＞0，函數f（x）=x²+alnx-ax在（0，+∞）上是增函數，則a的最大值為（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 由題意求導可得f′（x）≥0恒成立；從而討論確定恒成立的條件即可．

解答 解：∵f（x）=x²+alnx-ax，
∴f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$-a=$\frac{2{x}^{2}-ax+a}{x}$
∵函數f（x）=x²+alnx-ax在（0，+∞）上是增函數，
∴f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$-a＞0，在（0，+∞）上恒成立，
∴2x²-ax+a＞0在（0，+∞）上恒成立，
當a＜0時，顯然不可能恒成立；
當a=0時，顯然恒成立；
當a＞0時，△=a²-8a≤0，
故a≤8；
綜上所述，實數a的取值范圍為[0，8]；
故選：D

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．