Question

17．（1）求函數$f（x）=\frac{1}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}$，$x∈（0，\frac{π}{2}）$的最小值．
（2）已知不等式ax²+bx+c＞0的解集為（α，β），且0＜α＜β，試用α，β表示不等式cx²+bx+a＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）乘以“1”，換成sin²x+cos²x=1，利用基本不等式的性質求解．
（2）利用韋達定理求解．

解答 解：（1）函數$f（x）=\frac{1}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}=（{sin^2}x+{cos^2}x）（\frac{1}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}）$=$5+\frac{{{{cos}^2}x}}{{{{sin}^2}x}}+\frac{{4{{sin}^2}x}}{{{{cos}^2}x}}≥5+2\sqrt{4}=9$，
當4sin⁴x=cos⁴x時取最小值9．
（2）不等式ax²+bx+c＞0的解集為（α，β），
由$\frac{b}{c}=-（\frac{1}{α}+\frac{1}{β}）$，$\frac{a}{c}=\frac{1}{αβ}$知$\frac{1}{α}$、$\frac{1}{β}$是方程${x^2}+\frac{b}{c}x+\frac{a}{c}=0$的兩根，
又∵0＜α＜β，∴$0＜\frac{1}{β}＜\frac{1}{α}$．而由已知不等式的解集知a＜0且$αβ=\frac{c}{a}＞0$，
∴c＜0，
∴不等式cx²+bx+a＜0的解集為$\left\{{x|x＜\frac{1}{β}或x＞\frac{1}{α}}\right\}$．

點評 本題考查了基本不等式中“1”利用和二次不等式的解法，韋達定理的運用能力．