Question

6．函數f（x）是定義在R上的減函數，且f（x）＞0恒成立，若對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•g（x）．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（-1）=3，解不等式$\frac{f（{x}^{2}）•f（10）}{f（7x）}$≤9．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，f（0）=f²（0），f（x）＞0，f（0）=1；
（2）原不等式等價于f（x²）f（10）≤9f（7x ）⇒f（x²）f（10）≤f（7x）f（-2）⇒f（x²+10）≤f（7x-2）又f（x）是定義在R上的減函數，x²+10≥7x-2即可．

解答 解（1）令x=y=0，∴f（0）=f²（0），∵f（x）＞0，∴f（0）=1，…（3分）
（2）∵f（x）＞0，∴$\frac{{f（{x^2}）f（10）}}{f（7x）}≤9$，得f（x²）f（10）≤9f（7x），…（4分）
∵f（-1）=3，∴9=3×3=f（-1）f（-1）=f（-2），…（6分）
∴f（x²）f（10）≤f（7x）f（-2）可化為，f（x²+10）≤f（7x-2），…（8分）
又f（x）是定義在R上的減函數，∴x²+10≥7x-2，…（10分）
解得，x≤3，x≥4，…（11分）
即原不等式的解集為（-∞，3]∪[4，+∞）…（12分）

點評 本題考查了抽象函數的賦值法，及抽象函數不等式的解法，關鍵是根據單調性及定義域進行轉化，屬于基礎題．