Question

14．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$兩漸近線的夾角θ滿足$sinθ=\frac{4}{5}$，焦點到漸近線的距離d=1，則該雙曲線的焦距為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
• D． 以上都不是

Answer 1

分析 運用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$兩漸近線的夾角θ滿足$sinθ=\frac{4}{5}$，得到$\frac{a}$=2或$\frac{1}{2}$，結合點到直線的距離公式可得b，再由a，b，c的關系即可得到c，進而得到焦距．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$兩漸近線的夾角θ滿足$sinθ=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{a}$=2或$\frac{1}{2}$，
設焦點為（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
則d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=1，
又b²=c²-a²=1，
解得c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$．
則有焦距為$\sqrt{5}$或2$\sqrt{5}$．
故選C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查焦距和漸近線方程的運用，屬于中檔題．