Question

5．三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，PA=PB=PC=3，當三棱錐P-ABC的三個側(cè)面積和最大時，球O的體積為$\frac{{27\sqrt{3}π}}{2}$．

Answer 1

分析 三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，三棱錐P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求球的體積．

解答 解：由題意三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，
三棱錐P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大，
三棱錐P-ABC的外接球就是它擴展為正方體的外接球，求出正方體的對角線的長：3$\sqrt{3}$
所以球的直徑是3$\sqrt{3}$，半徑為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
球的體積為$\frac{{27\sqrt{3}π}}{2}$．
故答案為$\frac{{27\sqrt{3}π}}{2}$．

點評 本題考查球的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計算能力，是基礎(chǔ)題．