Question

1．設命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0（a＞0），命題q：實數x滿足$\frac{x-3}{x-2}≤0$．
（1）若命題p的解集為P，命題q的解集為Q，當a=1時，求P∩Q；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出P，Q，求出P，Q的交集即可；
（2）分別求出￢p，￢q，根據￢p是￢q的充分不必要條件，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）若a=1，由x²-4x+3＜0得：1＜x＜3，∴P=（1，3）--------------（2分）
由$\frac{x-3}{x-2}$≤0得：2＜x≤3；∴Q=（2，3]-------------------------------------------------------------（4分）
∴P∩Q=（2，3）---------------------------------------（5分）
（2）￢q為：實數x滿足x≤2，或x＞3；
￢p為：實數x滿足x²-4ax+3a²≥0，并解x²-4ax+3a²≥0得x≤a，或x≥3a-----------------（7分）
￢p是￢q的充分不必要條件，所以a應滿足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2---------------（9分）
∴a的取值范圍為：（1，2]----------------------------------（10分）

點評 本題考查了充分必要條件，考查解不等式問題以及集合的運算，是一道中檔題．