Question

2．已知拋物線y²=-x與直線l：y=k（x+1）相交于A、B兩點，點O為坐標原點．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；       
（2）若△OAB的面積等于$\frac{5}{4}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）聯立直線與拋物線方程，化為關于y的一元二次方程，由根與系數關系求出A，B兩點的橫縱坐標的和與積，直接運用數量積的坐標運算求解；
（2）直接代入三角形面積公式求解即可

解答 解：（1）設$A（{-{y_1}^2，{y_1}}）$，$B（{-{y_2}^2，{y_2}}）$由題意可知：k≠0，∴$x=-\frac{y}{k}+1$，
聯立y²=-x得：ky²+y-k=0顯然：△＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{1}{k}}\\{{y}_{1}•{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=（-y₁²）（-y₂²）+y₁y₂=（-1）²+1=0，
（2）∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+4}$=$\frac{5}{4}$，
  解得：k=±$\frac{2}{3}$，
∴直線l的方程為：2x+3y+2=0或2x-3y+2=0．

點評 本題考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了平面向量數量積的坐標運算，訓練了三角形面積的求法，是中檔題．