Question

8．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}+2}{2}，x≤1}\\{|lo{g}_{2}（x-1）|，x＞1}\end{array}\right.$，則函數F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零點個數是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 令t=f（x），F（x）=0，則f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0，分別作出y=f（x）和直線y=2x+$\frac{3}{2}$，得到兩交點的橫坐標，再由圖象觀察，即可得到所求零點個數．

解答 解：令t=f（x），F（x）=0，
則f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0，
分別作出y=f（x）和直線y=2x+$\frac{3}{2}$，
由圖象可得有兩個交點，橫坐標設為t₁，t₂，
則t₁=0，1＜t₂＜2，
即有f（x）=0有一根；
1＜f（x）＜2時，t₂=f（x）有3個不等實根，
綜上可得F（x）=0的實根個數為4，
即函數F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零點個數是4．
故選：A．

點評 本題考查函數的零點個數問題解法，注意運用轉化思想和換元法，以及數形結合思想方法，考查判斷和觀察能力，屬于中檔題．