Question

18．直線l與拋物線C：y²=2x交于A，B兩點，O為坐標原點，若直線OA，OB的斜率k₁，k₂滿足k₁k₂=$\frac{2}{3}$，則直線l過定點（-3，0）．

Answer 1

分析 直線l：x=my+b，代入拋物線方程可化為y²-2my-2b=0，y₁y₂=-2b，結合k₁k₂=$\frac{2}{3}$，即可得出結論．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），k₁k₂=$\frac{2}{3}$，則$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，又y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
∴y₁y₂=6
直線l：x=my+b，代入拋物線方程可化為y²-2my-2b=0，
∴y₁y₂=-2b，
∴-2b=6，∴b=-3，
即直線l：x=my-3，
∴l一定過點（-3，0），
故答案為：（-3，0）．

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，比較基礎．