Question

2．已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，若圓C的切線在x軸和y軸上的截距的絕對值相等，求此切線的方程．

Answer 1

分析 求出圓心和半徑，設直線方程，由圓心C到切線的距離等于半徑，求出待定系數的值．

解答 解：（1）圓C：（x+1）²+（y-2）²=2
當直線截距相等且不為0時，設直線方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，即x+y-a=0，
則$d=\frac{{|{-1+2-a}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$解得a=3或a=-1，所以方程為：x+y-3=0或x+y+1=0….4
（2）當直線截距互為相反數且不為0時，設直線為：$\frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1$同理可求得：a=-1或-5．
所以直線方程為：x-y+1=0或x-y+5=0…..8
（3）當直線截距為0時，過坐標原點，y軸不合題意．
設直線為y=kx$d=\frac{{|{-k-2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$解得：$k=2±\sqrt{6}$，所以直線方程為：$y=（{2±\sqrt{6}}）x$
綜上可知：直線方程為：x+y-3=0或x+y+1=0或x-y+1=0或x-y+5=0或$y=（{2±\sqrt{6}}）x$….12

點評 本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，體現了分類討論的數學思想．注意分截距不等于0和截距等于0兩種情況進行討論，屬于中檔題．