Question

15．已知函數f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下說法中不正確的是（　　）

• A． f（x）周期為2π
• B． f（x）最小值為-$\frac{5}{4}$
• C． f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]單調遞增
• D． f（x）關于點x=$\frac{π}{4}$對稱

Answer 1

分析 ①由f（x+2π）=f（x）即可得證；
②換元法，設t=sinx+cosx，由三角函數知識可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，且sin2x=t²-1，可得y=t²+t-1，由二次函數區間的最值可得．
③舉例即可排除；
④證明f（$\frac{π}{2}$-x）=f（x），即可判斷正誤．

解答 解：①∵f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函數周期為2π，故①正確；
②設t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
∴sin2x=t²-1，
∴y=sin2x+sinx+cosx=t²-1+t=t²+t-1=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
由二次函數可知，當t∈[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$]時，函數y=t²+t-1單調遞減，當t∈[-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$]時，函數y=t²+t-1單調遞增，
∴當t=-$\frac{1}{2}$時，函數取最小值y_min=-$\frac{5}{4}$，故②正確；
③∵f（x）=sin2x+sinx+cosx，
當x=$\frac{π}{4}$時，f（x）=1+$\sqrt{2}$，
當x=$\frac{π}{2}$時，f（x）=1，
∴f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]不是單調遞增．
故③錯誤；
④∵f（$\frac{π}{2}$-x）=sin[2（$\frac{π}{2}$-x）]+sin（$\frac{π}{2}$-x）+cos（$\frac{π}{2}$-x）=sin（π-2x）+sinx+cosx=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函數關于x=$\frac{π}{4}$對稱，故④正確．
故答案為：C．

點評 本題主要考查了正弦函數的圖象和性質，二次函數的圖象和性質，考查了函數的對稱性，周期性質的應用，考查轉化思想，數形結合思想及運算的能力，屬于中檔題．