Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，P是橢圓上一點，且△PF₁F₂面積的最大值為1．
（I）求橢圓的方程；
（II）過F₂的直線交橢圓于M，N兩點，求$\overrightarrow{{F_2}M}$•$\overrightarrow{{F_2}N}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率和a，b與c的關系求得a和b的關系，根據橢圓的幾何性質知，當點P為橢圓的短軸端點時，△PF₁F₂的面積最大，進而求得bc的關系，最后聯立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）先對直線l的斜率分類討論，當直線l的斜率不存在時，求出的值；當直線l的斜率存在時，設l：y=k（x+1），聯立l與橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的數量積坐標公式即可求得$\overrightarrow{{F_2}M}$•$\overrightarrow{{F_2}N}$的取值范圍，從而解決問題．

解答 解：（Ⅰ）由題知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{2}•2c•b=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，即橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
（Ⅱ）當直線MN的斜率不存在時，則MN的方程為x=1，此時M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{{F_2}M}$•$\overrightarrow{{F_2}N}$=-$\frac{1}{2}$
當直線MN的斜率存在時，設MN的方程為：y=k（x-1），聯立得到方程組
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{{F_2}M}$•$\overrightarrow{{F_2}N}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=-$\frac{1}{2-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$
∵k²≥0，
∴0＜$\frac{1}{1+{k}^{2}}$≤1，
∴1≤2-＜$\frac{1}{1+{k}^{2}}$≤2，
∴-1≤$\overrightarrow{{F_2}M}$•$\overrightarrow{{F_2}N}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{{F_2}M}$•$\overrightarrow{{F_2}N}$的取值范圍為[-1，-$\frac{1}{2}$）

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，直線與圓錐曲線的綜合應用，其中根據已知條件求出橢圓的標準方程是解答本題的關鍵．