Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（3，m），且$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影為3，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根據$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影是|$\overrightarrow{b}$|×cosθ，列出方程求出m的值，再計算$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夾角θ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為3，
且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}$=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3+$\sqrt{3}$m；
∴|$\overrightarrow{b}$|×cosθ=|$\overrightarrow{b}$|×$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3+\sqrt{3}m}{2}$=3；
解得m=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$；
∴cosθ=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由θ∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夾角θ為$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查向量在另一個向量上的投影定義及計算公式，向量夾角的應用問題，是基礎題目．