Question

15．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，在側面PBC內，有BE⊥PC于E，且BE=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$a．
（1）求證：PB⊥BC；
（2）試在AB上找一點F，使EF∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）欲證明PB⊥BC，只需推知BC⊥平面PAB即可；
（2）在平面PCD內，過E作EG∥CD交PD于AG，連接AG，在AB上取點F，使AF=EG．由BE=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$a，能求出AF=$\frac{2}{3}$a時，EF∥平面PAD．

解答 （1）證明：∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，
∴BC⊥面PAB，
∴PB⊥BC．
（2）在平面PCD內，過E作EG∥CD交PD于AG，連接AG，在AB上取點F，使AF=EG，
∵EG∥CD∥AF，EG=AF，
∴四邊形FEGA為平行四邊形，∴FE∥AG．
又AG?平面PAD，FE?平面PAD，
∴EF∥平面PAD，
∴F即為所示的點．
∵PB⊥BC，
∴PC²=BC²+PB²=BC²+AB²+PA²，
設PA=x，則$PC=\sqrt{2{a^2}+{x^2}}$，
由PB•BC=BE•PC得：$\sqrt{{a^2}+{x^2}}•a=\sqrt{2{a^2}+{x^2}}•\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，
∴x=a，即PA=a，
∴$PC=\sqrt{3}a$．
又$CE=\sqrt{{a^2}-{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{3}a}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
∴$\frac{PE}{PC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{GE}{CD}=\frac{PE}{PC}=\frac{2}{3}$，
即$GE=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}a$，
∴$AF=\frac{2}{3}a$，即$AF=\frac{2}{3}AB$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面平行的點的位置的確定與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．