Question

17．在數列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+ln（1+$\frac{1}{n-1}$）（n≥2）則{a_n}=（　�。�

• A． 2+nlnn
• B． 2+（n-1）lnn
• C． 2+lnn
• D． 1+n+lnn

Answer 1

分析 根據條件，${a}_{n}={a}_{n-1}+ln（1+\frac{1}{n-1}）={a}_{n-1}+lnn-ln（n-1）$，即a_n-lnn=a_n-1-ln（n-1），故{a_n-lnn}是常數數列，所以a_n-lnn=a₁-ln1=2，即a_n=2+lnn．

解答 解：∵${a}_{n}={a}_{n-1}+ln（1+\frac{1}{n-1}）$=${a}_{n-1}+ln\frac{n}{n-1}$，（n≥2）
∴a_n=a_n-1+lnn-ln（n-1），（n≥2）
∴a_n-lnn=a_n-1-ln（n-1），（n≥2）
∴{a_n-lnn}是常數數列，
∴a_n-lnn=a₁-ln1=2，
∴a_n=2+lnn．
故選：C

點評 本題考查的知識點是數列的遞推公式和對數的運算性質，屬于基礎題．