Question

5．某生產旅游紀念品的工廠，擬在2017年度進行系列促銷活動．經市場調查和測算，該紀念品的年銷售量x（單位：萬件）與年促銷費用t（單位：萬元）之間滿足3-x與t+1成反比例（若不搞促銷活動，紀念品的年銷售量只有1萬件）；已知工廠2017年生產紀念品的固定投資為3萬元，每生產1萬件紀念品另外需要投資32萬元．當工廠把每件紀念品的售價定為“年平均每件生產成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和時，則當年的產量和銷量相等．（利潤=收入-生產成本-促銷費用）；
（1）請把該工廠2017年的年利潤y（單位：萬元）表示成促銷費t（單位：萬元）的函數；
（2）試問：當2017的促銷費投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？

Answer 1

分析 （1）根據3-x與t+1成反比例，當年促銷費用t=0萬元時，年銷量是1萬件，可求出k的值；進而通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數；
（2）利用基本不等式求出最值，即可得結論．

解答 解：（1）設反比例系數為k（k≠0），有$3-x=\frac{k}{t+1}$
因為當t=0時x=1，代入得k=2，所以$x=3-\frac{2}{t+1}（{t≥0}）$；
易得：$y=x•（{\frac{3+32x}{x}•1.5+\frac{t}{2x}}）-（{3+32x}）-t$，
化簡得：$y=\frac{99}{2}-\frac{32}{t+1}-\frac{t}{2}（{t≥0}）$；
（2）$y=50-（{\frac{32}{t+1}+\frac{t+1}{2}}）≤50-2\sqrt{\frac{32}{t+1}•\frac{t+1}{2}}=42$，當且僅當t=7時取等號；
所以，當2017年的促銷費投入7萬元時，工廠的年利潤最大為42萬元．

點評 本題主要考查函數模型的選擇與應用，考查基本不等式在求最值中的應用，考查學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．