Question

已知動圓C過點（1，0）且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡E方程；
（2）設A，B為軌跡E上異于原點O的兩個不同點，直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，且α+β=45°．當α，β變化時，求證：直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）設動圓圓心M（x，y），由題設條件推導出點M的軌跡是以（1，0）為焦點，直線x=-1為準線的拋物線，由此能求出動圓圓心C的軌跡方程．
（2）設OA：y=kx，則OB：y=

1-k

1+k

x，聯立方程求出A，B坐標，進而利用斜率公式可證得A、B、Q（-4，4）三點共線．

解答： 解：（1）設動圓圓心M（x，y），
∵動圓C過定點（1，0），且與直線x=-1相切，
∴點M的軌跡是以（1，0）為焦點，直線x=-1為準線的拋物線…（2分）
其方程為y²=4x．
∴動圓圓心C的軌跡方程是y²=4x．…（3分）
證明：（2）設OA：y=kx（k∈（0，1））
則OB的斜率k_OB=tanβ=tan（45°-α）=

1-k

1+k

，
∴OB：y=

1-k

1+k

x
由

y=kx y= 1-k 1+k x

，可得：A（

4

k2

，

4

k

），
由

y2=4x y= 1-k 1+k x

可得：B（

4(1+k)2

(1-k)2

，

4(1+k)

1-k

），
下證A、B、Q（-4，4）三點共線：
∵k_QA-k_QB=

4 k -4

4 k2 +4

-

4(1+k) 1-k -4

4(1+k)2 (1-k)2 +4

=

k(1-k)

1+k2

-

k(1-k)

1+k2

=0
∴直線AB恒過定點Q（-4，4）．…（10分）

點評：本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查直線過某一定點的判斷與證明，綜合性強，難度大，對數學思維的要求較高．